Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x^{- 2}}{x - x^{- 1}}$

Bước 1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Quy đổi các số mũ âm thành phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - x^{- 1}}$

Bước 1.1.1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Bước 1.1.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để viết $x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Bước 1.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Bước 1.1.2.3

Để viết $x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}}$

Bước 1.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x - 1}{x}}$

Bước 1.2

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Bước 1.2.2

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2 + 2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Bước 1.2.2.1.2

Cộng $2$ và $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Bước 1.2.2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x - 1}$

Bước 1.2.2.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} - 1}$

Bước 1.2.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} - 1}$

Bước 1.2.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{2} - 1}$

Bước 1.2.2.6

Nhân $\frac{x^{4} - 1}{x^{2}}$ với $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{4} - 1) x}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $(x^{4} - 1) x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (x^{2} - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

Bước 1.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Bước 2.1.2.1.2

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Bước 2.1.2.1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Bước 2.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Bước 2.1.2.3.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Bước 2.1.2.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Bước 2.1.3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Bước 2.1.3.3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Bước 2.1.3.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Bước 2.1.3.5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Bước 2.1.3.5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot (1^{2} - 1 \cdot 1)}$

Bước 2.1.3.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.1

Nhân $1^{2} - 1 \cdot 1$ với $1$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Bước 2.1.3.6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Bước 2.1.3.6.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Bước 2.1.3.6.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.6.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.7

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Bước 2.3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Bước 2.3.5

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Bước 2.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.9

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.10

Cộng $2 x$ và $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.14

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

Bước 2.3.16

Nhân $x^{2} - 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + x^{2} - 1}$

Bước 2.3.17

Cộng $2 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

Bước 3.3

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

Bước 3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Bước 3.5

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Bước 3.6

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Bước 3.7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Bước 4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$4 \frac{1^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$4 \frac{1^{3}}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Bước 5.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$4 \frac{1}{3 - 1 \cdot 1}$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 \frac{1}{3 - 1}$

Bước 5.2.4

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$4 (\frac{1}{2})$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$2$