Giải tích Ví dụ

$2 x^{2} + y^{2} - x y = 4$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + y^{2} - x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$4 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 x + 2 y y' - \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$4 x + 2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.4.5

Nhân $y$ với $1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y)$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x + 2 y y' - (x y') - y$

Bước 2.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$4 x + 2 y y' - x y' - y$

Bước 2.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 y y' - x y' + 4 x - y$

Bước 3

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' - x y' + 4 x - y = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y y' - x y' - y = - 4 x$

Bước 5.1.2

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y y' - x y' = - 4 x + y$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y' - x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = - 4 x + y$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = - 4 x + y$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = - 4 x + y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ cho $2 y - x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ cho $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 4 x + y}{2 y - x}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x$ .

$y' = \frac{- (4 x) + y}{2 y - x}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $y$ .

$y' = \frac{- (4 x) - 1 (- y)}{2 y - x}$

Bước 5.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (4 x - y)}{2 y - x}$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Viết lại $- (4 x - y)$ ở dạng $- 1 (4 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (4 x - y)}{2 y - x}$

Bước 5.3.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$