Giải tích Ví dụ

${(x^{2} + 1)}^{2}$

Bước 1

Viết ${(x^{2} + 1)}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Bước 4

Khai triển ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(x^{2} + 1)}^{2}$ ở dạng $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) d x$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) d x$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) d x$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Bước 4.5

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$\int x^{2} x^{2} + 1 \cdot x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Bước 4.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{2 + 2} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Bước 4.7

Cộng $2$ và $2$ .

$\int x^{4} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Bước 4.8

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Bước 4.9

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Bước 4.10

Nhân $1$ với $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 d x$

Bước 4.11

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\int x^{4} + 2 x^{2} + 1 d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2} d x + \int d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x + C$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$