Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Bước 6

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| x |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Bước 7.2

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 7.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 7.3.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{- 3} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Bước 9.1.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Bước 9.2

Rút gọn.

$\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$