Giải tích Ví dụ

$\int (5^{5 x + 1} - 15 x^{4}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int 5^{5 x + 1} - 15 x^{4} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 5^{5 x + 1} d x + \int - 15 x^{4} d x$

Bước 3

Giả sử $u = 5 x + 1$ . Sau đó $d u = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 5 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.3.3

Nhân $5$ với $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$5 + 0$

Bước 3.1.4.2

Cộng $5$ và $0$ .

$5$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Bước 4

Kết hợp $5^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Bước 6

Tích phân của $5^{u}$ đối với $u$ là $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) + \int - 15 x^{4} d x$

Bước 7

Vì $- 15$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 15$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 \int x^{4} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{x^{5}}{5} + C)$

Bước 9.2

Rút gọn.

$\frac{1 \cdot 5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $5^{u}$ với $1$ .

$\frac{5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $5^{u}$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5^{u}$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 \ln (5)$ .

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 (\ln (5))} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Bước 9.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Bước 9.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Bước 9.3.3

Kết hợp $- 15$ và $\frac{x^{5}}{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 15 x^{5}}{5} + C$

Bước 9.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 15$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 15 x^{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5} + C$

Bước 9.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 (1)} + C$

Bước 9.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

Bước 9.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5}}{1} + C$

Bước 9.3.4.2.4

Chia $- 3 x^{5}$ cho $1$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} + C$

Bước 9.3.5

Để viết $- 3 x^{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} \cdot \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + C$

Bước 9.3.6

Kết hợp $- 3 x^{5}$ và $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Bước 9.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5^{u - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x + 1$ .

$\frac{5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{\ln (5)} (5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)) + C$