Giải tích Ví dụ

$f (x) = 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 9 x^{\frac{4}{5}} d x + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 4

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int x^{\frac{4}{5}} d x + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{4}{5}}$ đối với $x$ là $\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}}$ .

$9 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C) + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$9 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{5}{9}$ và $x^{\frac{9}{5}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 10.2

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 10.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 10.3.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int x^{- 3} d x + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 12.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Bước 13

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \sqrt{x} d x$

Bước 14

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 15

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Bước 16.2

Rút gọn.

$5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 18

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$