Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{3}}{2} - 3 x^{- 2} - 2 x^{3} - x^{\frac{3}{2}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{2} - 3 x^{- 2} - 2 x^{3} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để viết $- 2 x^{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3}}{2} - 2 x^{3} \cdot \frac{2}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 3.2

Kết hợp $- 2 x^{3}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{- 2 x^{3} \cdot 2}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} - 2 x^{3} \cdot 2}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} - 4 x^{3}}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 3.5

Trừ $4 x^{3}$ khỏi $x^{3}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{- 3 x^{3}}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - 3 x^{- 2} - \frac{3 x^{3}}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int - \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 8

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (- x^{- 1} + C) - (\frac{3}{2} \int x^{3} d x) + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$\frac{3}{x} - \frac{3 x^{4}}{8} - (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Bước 12.2

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{x} - \frac{3 x^{4}}{8} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3}{x} - \frac{3}{8} x^{4} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{2} - 3 x^{- 2} - 2 x^{3} - x^{\frac{3}{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{x} - \frac{3}{8} x^{4} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$