Giải tích Ví dụ

$\frac{d f}{d x} = 12 x^{5} - 4 x + 3$ , $f (- 1) = 3$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d f = (12 x^{5} - 4 x + 3) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d f = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} - 4 x + 3 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f + C_{1} = \int 12 x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.2

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$f + C_{1} = 12 \int x^{5} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Bước 2.3.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $x^{6}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Bước 2.3.7.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f + C_{1} = 12 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

$f + C_{1} = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $- 1$ cho $x$ và $3$ cho $f$ trong $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ .

$3 = 2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$ .

$2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Bước 4.2

Rút gọn $2 {(- 1)}^{6} - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $6$ .

$2 \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Bước 4.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 - 2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Bước 4.2.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$2 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Bước 4.2.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$2 - 2 + 3 \cdot - 1 + K = 3$

Bước 4.2.1.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$2 - 2 - 3 + K = 3$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$0 - 3 + K = 3$

Bước 4.2.2.2

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$- 3 + K = 3$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 3 + 3$

Bước 4.3.2

Cộng $3$ và $3$ .

$K = 6$

Bước 5

Thay $6$ cho $K$ trong $f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $6$ bằng $K$ .

$f = 2 x^{6} - 2 x^{2} + 3 x + 6$