Giải tích Ví dụ

Phân tích phân số thành thừa số.

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó ${\displaystyle A}$.

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó ${\displaystyle B}$.

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là ${\displaystyle (y+1)(y-1)}$.

Triệt tiêu thừa số chung ${\displaystyle y+1}$.

Triệt tiêu thừa số chung ${\displaystyle y-1}$.

Rút gọn mỗi số hạng.

Di chuyển ${\displaystyle -A}$.

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của ${\displaystyle y}$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa ${\displaystyle y}$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

Giải tìm ${\displaystyle A}$ trong ${\displaystyle 0=A+B}$.

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của ${\displaystyle A}$ bằng ${\displaystyle -B}$ trong mỗi phương trình.

Giải tìm ${\displaystyle B}$ trong ${\displaystyle 1=2B}$.

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của ${\displaystyle B}$ bằng ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ trong mỗi phương trình.

Liệt kê tất cả các đáp án.

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

Nhân ${\displaystyle \frac{1}{y+1}}$ với ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Di chuyển ${\displaystyle 2}$ sang phía bên trái của ${\displaystyle y+1}$.

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

Nhân ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ với ${\displaystyle \frac{1}{y-1}}$.

Tính đạo hàm ${\displaystyle y+1}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle y+1}$ đối với ${\displaystyle y}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y\right]+\frac{d}{dy}\left[1\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ là ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Vì ${\displaystyle 1}$ là hằng số đối với ${\displaystyle y}$, đạo hàm của ${\displaystyle 1}$ đối với ${\displaystyle y}$ là ${\displaystyle 0}$.

Cộng ${\displaystyle 1}$ và ${\displaystyle 0}$.

Tính đạo hàm ${\displaystyle y-1}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle y-1}$ đối với ${\displaystyle y}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y\right]+\frac{d}{dy}[-1]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ là ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Vì ${\displaystyle -1}$ là hằng số đối với ${\displaystyle y}$, đạo hàm của ${\displaystyle -1}$ đối với ${\displaystyle y}$ là ${\displaystyle 0}$.

Cộng ${\displaystyle 1}$ và ${\displaystyle 0}$.

Triệt tiêu thừa số chung ${\displaystyle 2}$.

Triệt tiêu thừa số chung ${\displaystyle 2}$.

Di chuyển ${\displaystyle 2}$ sang phía bên trái của ${\displaystyle \ln \left(\left|x\right|\right)}$.

Di chuyển ${\displaystyle 2}$ sang phía bên trái của ${\displaystyle C}$.

Rút gọn ${\displaystyle -2\ln \left(\left|x\right|\right)}$ bằng cách di chuyển ${\displaystyle 2}$ trong logarit.

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${\displaystyle {\left|x\right|}^2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

Triệt tiêu thừa số chung ${\displaystyle |y-1|}$.

Viết lại phương trình ở dạng ${\displaystyle e^{-2C}|y-1|=x^2|y+1|}$.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle e^{-2C}|y-1|=x^2|y+1|}$ cho ${\displaystyle e^{-2C}}$ và rút gọn.

Viết lại phương trình chứa giá trị tuyệt đối ở dạng bốn phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối.

Sau khi rút gọn, chỉ có hai phương trình duy nhất cần giải.

Giải ${\displaystyle y-1=\frac{x^2(y+1)}{e^{-2C}}}$ để tìm ${\displaystyle y}$.