Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$ , $y (3) = 7$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (x^{2} - 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $3$ cho $x$ và $7$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ .

$7 = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Bước 4.2

Rút gọn $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Bước 4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Bước 4.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Bước 4.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + K = 7$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$9 - 3 + K = 7$

Bước 4.2.2

Trừ $3$ khỏi $9$ .

$6 + K = 7$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 7 - 6$

Bước 4.3.2

Trừ $6$ khỏi $7$ .

$K = 1$

Bước 5

Thay $1$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $1$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + 1$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - x + 1$