Giải tích Ví dụ

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

Bước 1

Trừ $2 y d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $e^{- 3 x}$ ra ngoài $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

Bước 3.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $y$ ra ngoài $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Bước 3.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

Bước 3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Bước 4.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

Bước 4.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

Bước 4.3.3.2

Làm âm số mũ của $e^{- 3 x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

Bước 4.3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.3.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

Bước 4.3.3.3.1.2

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

Bước 4.3.3.3.2

Nhân $e^{3 x}$ với $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

Bước 4.3.4

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 4.3.4.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 4.3.4.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 4.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 4.3.5

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Bước 4.3.6

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Bước 4.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

Bước 4.3.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Bước 4.3.8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Bước 4.3.9

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Bước 4.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

Bước 5.2

Viết lại $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

Bước 5.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

Bước 5.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Kết hợp $e^{3 x}$ và $\frac{2}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

Bước 5.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{3 x}$ .

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Bước 5.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ ở dạng $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

Bước 6.2

Sắp xếp lại $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

Bước 6.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$