Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 x - y$

Bước 1

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} + y = 4 x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} (4 x)$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 4 e^{x} x$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 4 e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 4 x e^{x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 4 x e^{x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 4 x e^{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{x} y = \int 4 x e^{x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$e^{x} y = 4 \int x e^{x} d x$

Bước 7.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Bước 7.3

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Bước 7.4

Rút gọn.

$e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$ cho $e^{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} y = 4 (x e^{x} - e^{x}) + C$ cho $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{4 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{4 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Bước 8.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

Bước 8.3.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{4 x e^{x} - 4 e^{x} + C}{e^{x}}$