Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x y$

Bước 1

Cộng $x y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{3}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int x d x}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$

Bước 3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giả sử $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Sau đó $d u = x d x$ , nên $\frac{1}{x} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Hãy đặt $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 7.1.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 7.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Bước 7.1.1.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Bước 7.1.1.4.2

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Bước 7.1.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2}$

Bước 7.1.1.4.3.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x$

Bước 7.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {\sqrt{2 u}}^{2} e^{u} d u$

Bước 7.2

Viết lại ${\sqrt{2 u}}^{2}$ ở dạng $2 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 u}$ ở dạng ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {({(2 u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} d u$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} d u$

Bước 7.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Bước 7.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Bước 7.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{1} e^{u} d u$

Bước 7.2.5

Rút gọn.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 u e^{u} d u$

Bước 7.3

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int u e^{u} d u$

Bước 7.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Bước 7.5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Bước 7.6

Rút gọn.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

Bước 7.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Bước 7.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Bước 7.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Bước 7.8.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Bước 7.8.3.2

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Bước 7.8.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

Bước 7.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ cho $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ cho $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ và $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Đưa $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ ra ngoài $x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 8.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.1.2.4

Chia $x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ cho $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.3

Nhân $x^{2}$ với $0$ .

$y = x^{2} e^{\frac{0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.4

Chia $0$ cho $2$ .

$y = x^{2} e^{0} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$y = x^{2} \cdot 1 + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.6

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.7

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ và $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.7.1

Đưa $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ ra ngoài $- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.7.2.1

Nhân với $1$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.7.2.4

Chia $- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ cho $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.8.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.8.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.8.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.8.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.8.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.8.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.9

Nhân $x^{2}$ với $0$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.10

Chia $0$ cho $2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.11

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$y = x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Bước 8.3.1.12

Nhân $- 2$ với $1$ .

$y = x^{2} - 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$