Giải tích Ví dụ

$2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ cho $2 x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ cho $2 x$ .

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Bước 1.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Bước 1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Bước 1.1.2.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Bước 1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Bước 1.1.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{2}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.3

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Bước 2.3.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Bước 2.3.6

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u)) + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{4} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x)}{4} + C_{2}$

Bước 2.3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + K$