Giải tích Ví dụ

$(2 y^{2} + 4 x) d x + 3 x y d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 y^{2} + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 4 x]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y^{2} + 4 x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + \frac{d}{d y} [4 x]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $4 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $4 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $4 y$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 3 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y]$

Bước 2.2

Vì $3 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x y$ đối với $x$ là $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $4 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $3 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y = 3 y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$4 y = 3 y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $4 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $3 y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 y - (3 y)}{N}$

Bước 4.3

Thay $3 x y$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $3 x y$ bằng $N$ .

$\frac{4 y - (3 y)}{3 x y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $4 y - 1 \cdot 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 - 1 \cdot 3 y}{3 x y}$

Bước 4.3.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 1 \cdot 3 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + y (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Bước 4.3.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 4 + y (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y (4 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{y (4 - 3)}{3 x y}$

Bước 4.3.2.3

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{y \cdot 1}{3 x y}$

Bước 4.3.3

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{y}{3 x y}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{3 x y}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3 x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{3 x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{1}{3 x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{3} (\ln (| x |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{3} \ln (| x |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{3}})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{3}} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(2 y^{2} + 4 x) d x + 3 x y d y = 0$ với hệ số tích phân $x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $2 y^{2} + 4 x$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(2 y^{2} + 4 x) x^{\frac{1}{3}} d x + 3 x y d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x \cdot x^{\frac{1}{3}}) d x + 3 x y d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 (x^{\frac{1}{3}} x)) d x + 3 x y d y = 0$

Bước 6.3.2

Nhân $x^{\frac{1}{3}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 (x^{\frac{1}{3}} x^{1})) d x + 3 x y d y = 0$

Bước 6.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3} + 1}) d x + 3 x y d y = 0$

Bước 6.3.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}) d x + 3 x y d y = 0$

Bước 6.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1 + 3}{3}}) d x + 3 x y d y = 0$

Bước 6.3.5

Cộng $1$ và $3$ .

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}) d x + 3 x y d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $3 x y$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}) d x + 3 x y x^{\frac{1}{3}} d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}) d x + 3 (x^{\frac{1}{3}} x) y d y = 0$

Bước 6.5.2

Nhân $x^{\frac{1}{3}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}) d x + 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) y d y = 0$

Bước 6.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}) d x + 3 x^{\frac{1}{3} + 1} y d y = 0$

Bước 6.5.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}) d x + 3 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} y d y = 0$

Bước 6.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}) d x + 3 x^{\frac{1 + 3}{3}} y d y = 0$

Bước 6.5.5

Cộng $1$ và $3$ .

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}) d x + 3 x^{\frac{4}{3}} y d y = 0$

Bước 6.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 x^{\frac{4}{3}} y$ .

$(2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}) d x + 3 y x^{\frac{4}{3}} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y x^{\frac{4}{3}} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = 3 y x^{\frac{4}{3}}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $3 x^{\frac{4}{3}}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3 x^{\frac{4}{3}}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 x^{\frac{4}{3}} \int y d y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $3 x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $3 x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 3 x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{\frac{4}{3}} \frac{3}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.2

Kết hợp $x^{\frac{4}{3}}$ và $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{\frac{4}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot x^{\frac{4}{3}}}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.4

Nhân $3$ với $x^{\frac{4}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.5

Kết hợp $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{4}{3}} y^{2}}{2} + C$

Bước 8.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{2} + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{2} + g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.2

Kết hợp $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{4}{3}} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.3

Vì $\frac{3 y^{2}}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x^{\frac{4}{3}} y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.8.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.8.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.9

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.10

Nhân $\frac{3 y^{2}}{2}$ với $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 y^{2} (4 x^{\frac{1}{3}})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.11

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12 y^{2} x^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.12

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{12 y^{2} x^{\frac{1}{3}}}{6} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.13

Đưa $6$ ra ngoài $12 y^{2} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 y^{2} x^{\frac{1}{3}})}{6} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.14.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\frac{6 (2 y^{2} x^{\frac{1}{3}})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 (2 y^{2} x^{\frac{1}{3}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 y^{2} x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.3.14.4

Chia $2 y^{2} x^{\frac{1}{3}}$ cho $1$ .

$2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{2} = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 11.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + 2 x^{\frac{1}{3}} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} = 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} - 2 y^{2} x^{\frac{1}{3}} - 4 x^{\frac{4}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Trừ $2 y^{2} x^{\frac{1}{3}}$ khỏi $2 y^{2} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 - 4 x^{\frac{4}{3}} = 0$

Bước 12.1.1.2

Cộng $\frac{d g}{d x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} - 4 x^{\frac{4}{3}} = 0$

Bước 12.1.2

Cộng $4 x^{\frac{4}{3}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{\frac{4}{3}}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $4 x^{\frac{4}{3}}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 4 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Bước 13.3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 4 \int x^{\frac{4}{3}} d x$

Bước 13.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{4}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$g (x) = 4 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$

Bước 13.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Viết lại $4 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$ ở dạng $4 (\frac{3}{7}) x^{\frac{7}{3}} + C$ .

$g (x) = 4 (\frac{3}{7}) x^{\frac{7}{3}} + C$

Bước 13.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{7}$ .

$g (x) = \frac{4 \cdot 3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Bước 13.5.2.2

Nhân $4$ với $3$ .

$g (x) = \frac{12}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{2} + \frac{12}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{2} + \frac{12}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{4}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{2} y^{2} + \frac{12}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Bước 15.1.2

Kết hợp $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{4}{3}} y^{2}}{2} + \frac{12}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Bước 15.1.3

Kết hợp $\frac{12}{7}$ và $x^{\frac{7}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{4}{3}} y^{2}}{2} + \frac{12 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Bước 15.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{4}{3}} y^{2}}{2} + \frac{12 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2} x^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{12 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$