Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x^{5} + x^{6}$ , $y (1) = 2$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (x^{5} + x^{6}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x^{5} + x^{6} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x^{5} + x^{6} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int x^{5} d x + \int x^{6} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \int x^{6} d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $2$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ .

$2 = \frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Bước 4.2

Rút gọn $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Bước 4.2.1.2

Nhân $\frac{1}{6}$ với $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Bước 4.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1 + K = 2$

Bước 4.2.1.4

Nhân $\frac{1}{7}$ với $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + K = 2$

Bước 4.2.2

Để viết $\frac{1}{6}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} + K = 2$

Bước 4.2.3

Để viết $\frac{1}{7}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Bước 4.2.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $42$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Nhân $\frac{1}{6}$ với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Bước 4.2.4.2

Nhân $6$ với $7$ .

$\frac{7}{42} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Bước 4.2.4.3

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{7 \cdot 6} + K = 2$

Bước 4.2.4.4

Nhân $7$ với $6$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{42} + K = 2$

Bước 4.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7 + 6}{42} + K = 2$

Bước 4.2.6

Cộng $7$ và $6$ .

$\frac{13}{42} + K = 2$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{13}{42}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 2 - \frac{13}{42}$

Bước 4.3.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{42}{42}$ .

$K = 2 \cdot \frac{42}{42} - \frac{13}{42}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{42}{42}$ .

$K = \frac{2 \cdot 42}{42} - \frac{13}{42}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{2 \cdot 42 - 13}{42}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $2$ với $42$ .

$K = \frac{84 - 13}{42}$

Bước 4.3.5.2

Trừ $13$ khỏi $84$ .

$K = \frac{71}{42}$

Bước 5

Thay $\frac{71}{42}$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{71}{42}$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $x^{6}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $x^{7}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7} + \frac{71}{42}$