Giải tích Ví dụ

$2 x \frac{d y}{d x} - \ln (x^{2}) = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Cộng $\ln (x^{2})$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ cho $2 x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ cho $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Bước 1.1.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Bước 1.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Bước 1.1.2.2.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Khai triển $\ln (x^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Bước 1.1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Bước 1.1.2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 2.3.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int u d u$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$