Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

Bước 1

Giả sử $v = e^{x - y}$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Bước 2

Tìm $\frac{d v}{d x}$ bằng cách tính đạo hàm $e^{x - y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Bước 3

Thay $v$ bằng $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Bước 4

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

Bước 5

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ với $- v$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ với $- v$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ vào tử số.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Bước 5.2.1.1.2

Đưa $v$ ra ngoài $- v$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Bước 5.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Bước 5.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Bước 5.2.1.3

Nhân $\frac{d v}{d x}$ với $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Bước 5.2.1.4

Nhân $- v$ với $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

Bước 5.3.2

Nhân $v$ với $v$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Di chuyển $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

Bước 5.3.2.2

Nhân $v$ với $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

Bước 6

Để giải phương trình vi phân, để $v = y^{1 - n}$ trong đó $n$ là số mũ của $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Bước 7

Giải phương trình để tìm $v$ .

$y = v^{- 1}$

Bước 8

Lấy đạo hàm của $y$ đối với $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Bước 9

Lấy đạo hàm của $v^{- 1}$ đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Lấy đạo hàm của $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Bước 9.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Bước 9.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1$ và $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 9.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 9.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 9.4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.3.1

Nhân $v$ với $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 9.4.3.2

Trừ $\frac{d}{d x} [v]$ khỏi $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 9.4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 9.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [v]$ ở dạng $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Bước 10

Thay $- \frac{v'}{v^{2}}$ cho $\frac{d v}{d x}$ và $v^{- 1}$ cho $v$ trong phương trình gốc $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

Bước 11

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ với $- v^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ với $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.1.2

Đưa $v^{2}$ ra ngoài $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.3

Nhân $\frac{d v}{d x}$ với $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.5

Nhân $v^{- 1}$ với $v^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1.5.1

Di chuyển $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.5.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.6

Rút gọn $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.2.1.8

Nhân $v$ với $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 11.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.1

Nhân các số mũ trong ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Bước 11.1.3.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

Bước 11.1.3.2

Nhân $v^{- 2}$ với $v^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.2.1

Di chuyển $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Bước 11.1.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Bước 11.1.3.2.3

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

Bước 11.1.3.3

Rút gọn $- x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

Bước 11.1.3.4

Nhân $- x \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

Bước 11.1.3.4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Bước 11.2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Lập tích phân.

$e^{\int d x}$

Bước 11.2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{x + C}$

Bước 11.2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{x}$

Bước 11.3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân từng số hạng với $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Bước 11.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Bước 11.4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Bước 11.5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Bước 11.6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Bước 11.7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Bước 11.7.2

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Bước 11.7.3

Rút gọn.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

Bước 11.8

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ cho $e^{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ cho $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 11.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 11.8.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 11.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 11.8.3.1.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 11.8.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 11.8.3.1.2.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 12

Thay $v^{- 1}$ bằng $v$ .

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $e^{x - y}$ .

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 14

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Bước 14.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Khai triển $\ln (e^{- x + y})$ bằng cách di chuyển $- x + y$ ra bên ngoài lôgarit.

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Bước 14.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Bước 14.2.3

Nhân $- x + y$ với $1$ .

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Bước 14.3

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$