Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

Bước 1

Lấy tích phân cả hai vế đối với $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm bậc nhất bằng tích phân của đạo hàm bậc hai đối với $t$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

Bước 1.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

Bước 1.3

Giả sử $u_{1} = 3 t$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d t$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 t$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Tính đạo hàm $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 1.3.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 1.3.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 1.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Bước 1.4

Kết hợp $\sin (u_{1})$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Bước 1.5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Bước 1.6

Tích phân của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

Bước 1.7

Giả sử $u_{2} = 3 t$ . Sau đó $d u_{2} = 3 d t$ , nên $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Hãy đặt $u_{2} = 3 t$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Tính đạo hàm $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 1.7.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 1.7.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 1.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 1.8

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Bước 1.9

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 1.10

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Bước 1.11

Rút gọn.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Bước 1.12

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Bước 1.12.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Bước 1.13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Bước 2

Viết lại phương trình.

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.2

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.3

Giả sử $u_{3} = 3 t$ . Sau đó $d u_{3} = 3 d t$ , nên $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Hãy đặt $u_{3} = 3 t$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Tính đạo hàm $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 3.3.3.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.3.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 3.3.3.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 3.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.4

Kết hợp $\cos (u_{3})$ và $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.6.2

Nhân $3$ với $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.7

Tích phân của $\cos (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\sin (u_{3})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.8

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.9

Giả sử $u_{4} = 3 t$ . Sau đó $d u_{4} = 3 d t$ , nên $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ . Viết lại bằng $u_{4}$ và $d$ $u_{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.9.1

Hãy đặt $u_{4} = 3 t$ . Tìm $\frac{d u_{4}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.9.1.1

Tính đạo hàm $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Bước 3.3.9.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.3.9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 3.3.9.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 3.3.9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{4}$ và $d u_{4}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.10

Kết hợp $\sin (u_{4})$ và $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.11

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{4}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.12.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.12.2

Nhân $3$ với $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.13

Tích phân của $\sin (u_{4})$ đối với $u_{4}$ là $- \cos (u_{4})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

Bước 3.3.14

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

Bước 3.3.15

Rút gọn.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Bước 3.3.16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Bước 3.3.16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{4}$ với $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Bước 3.3.17

Sắp xếp lại các số hạng.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$