Giải tích Ví dụ

Solve $(x + y) d y = (x - y) d x$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $(x - y) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(x + y) d y - (x - y) d x = 0$

Bước 1.2

Viết lại.

$- (x - y) d x + (x + y) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = - (x - y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- (x - y)$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [x - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Bước 2.4

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.7

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.7.2

Nhân $\frac{d}{d y} [y]$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.4

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Bước 3.5

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Bước 4.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$1 = 1$ là một đẳng thức.

Bước 5

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

Bước 6

Lấy tích phân $M (x, y) = - (x - y)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - \int x - y d x$

Bước 6.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

Bước 6.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

Bước 6.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

Bước 6.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

Bước 6.6

Rút gọn.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

Bước 7

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

Bước 8

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y$

Bước 9

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = x + y$

Bước 9.2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = x + y$

Bước 9.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Bước 9.3

Tính $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Bước 9.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2} - y x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Bước 9.3.3

Vì $\frac{x^{2}}{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Bước 9.3.4

Vì $- x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y x$ đối với $y$ là $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Bước 9.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Bước 9.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Bước 9.3.7

Trừ $x$ khỏi $0$ .

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Bước 9.3.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Bước 9.3.9

Nhân $x$ với $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Bước 9.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + y$

Bước 9.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x = x + y$

Bước 10

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x + y - x$

Bước 10.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Bước 10.1.2.2

Cộng $y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Bước 11

Tìm nguyên hàm của $y$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Bước 11.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Bước 11.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 12

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 13

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 13.3

Nhân $- (- y x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 13.3.2

Nhân $y$ với $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 13.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$