Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 4$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (1 + \frac{1}{x}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = x + \ln (| x |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $4$ cho $y$ trong $y = x + \ln (| x |) + C$ .

$4 = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $1 + \ln (| 1 |) + C = 4$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = 4$

Bước 4.2

Rút gọn $1 + \ln (| 1 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$1 + \ln (1) + C = 4$

Bước 4.2.1.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$1 + 0 + C = 4$

Bước 4.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$1 + C = 4$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 4 - 1$

Bước 4.3.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$C = 3$

Bước 5

Thay $3$ cho $C$ trong $y = x + \ln (| x |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $3$ bằng $C$ .

$y = x + \ln (| x |) + 3$