Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ ; given $x (\frac{π}{4}) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Bước 1.2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Bước 1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Bước 2.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (x) = 4 t + K$

Bước 3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $x$ ra khỏi bên trong arctang.

$x = \tan (4 t + K)$

Bước 4

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $\frac{π}{4}$ cho $t$ và $1$ cho $x$ trong $x = \tan (4 t + K)$ .

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

Bước 5

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ .

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

Bước 5.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $K$ từ trong hàm tang.

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

Bước 5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

Bước 5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$π + K = \arctan (1)$

Bước 5.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$π + K = \frac{π}{4}$

Bước 5.5

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Trừ $π$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = \frac{π}{4} - π$

Bước 5.5.2

Để viết $- π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Bước 5.5.3

Kết hợp $- π$ và $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Bước 5.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

Bước 5.5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.5.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

Bước 5.5.5.2

Trừ $4 π$ khỏi $π$ .

$K = \frac{- 3 π}{4}$

Bước 5.5.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$K = - \frac{3 π}{4}$

Bước 5.6

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$π + K = π + \frac{π}{4}$

Bước 5.7

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 5.7.1.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 5.7.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 5.7.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 5.7.1.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$π + K = \frac{5 π}{4}$

Bước 5.7.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.1

Trừ $π$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = \frac{5 π}{4} - π$

Bước 5.7.2.2

Để viết $- π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Bước 5.7.2.3

Kết hợp $- π$ và $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Bước 5.7.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

Bước 5.7.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.2.5.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

Bước 5.7.2.5.2

Trừ $4 π$ khỏi $5 π$ .

$K = \frac{π}{4}$

Bước 5.8

Tìm chu kỳ của $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 5.8.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 5.8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 5.8.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 5.9

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Cộng $π$ vào $- \frac{3 π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{3 π}{4} + π$

Bước 5.9.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Bước 5.9.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Bước 5.9.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Bước 5.9.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

Bước 5.9.4.2

Trừ $3 π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{π}{4}$

Bước 5.9.5

Liệt kê các góc mới.

$K = \frac{π}{4}$

Bước 5.10

Chu kỳ của hàm $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.11

Hợp nhất các câu trả lời.

$K = \frac{π}{4} + π n$

Bước 6

Thay $\frac{π}{4} + π n$ cho $K$ trong $x = \tan (4 t + K)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay $\frac{π}{4} + π n$ bằng $K$ .

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$