Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + (a x + b) y = 0$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = a x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int a x + b d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $a x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{\int a x d x + \int b d x}$

Bước 1.2.2

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $a$ ra khỏi tích phân.

$e^{a \int x d x + \int b d x}$

Bước 1.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int b d x}$

Bước 1.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + b x + C}$

Bước 1.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$e^{a (\frac{x^{2}}{2} + C) + b x + C}$

Bước 1.2.5.2

Rút gọn.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x}$

Bước 1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $a$ .

$e^{\frac{a}{2} x^{2} + b x}$

Bước 1.4.2

Kết hợp $\frac{a}{2}$ và $x^{2}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} ((a x + b) y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y + b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Bước 2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Bước 2.3

Nhân $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ với $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + a x y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} + b y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} = 0$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] = 0$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] d x = \int 0 d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = \int 0 d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = 0 + C$

Bước 6.2

Cộng $0$ và $C$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ cho $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ cho $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Để viết $b x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x \cdot \frac{2}{2}}}$

Bước 7.3.1.2

Kết hợp $b x$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x \cdot 2}{2}}}$

Bước 7.3.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2} + b x \cdot 2}{2}}}$

Bước 7.3.1.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $a x^{2} + b x \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.4.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $a x^{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + b x \cdot 2}{2}}}$

Bước 7.3.1.4.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $b x \cdot 2$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + x (b \cdot 2)}{2}}}$

Bước 7.3.1.4.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (a x) + x (b \cdot 2)$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + b \cdot 2)}{2}}}$

Bước 7.3.1.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $b$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + 2 b)}{2}}}$