Giải tích Ví dụ

$\frac{d f}{d x} = 35 x \sqrt{5 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 15$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d f = 35 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d f = \int 35 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f + C_{1} = \int 35 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $35$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $35$ ra khỏi tích phân.

$f + C_{1} = 35 \int x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 5 x^{2} + 4$ . Sau đó $d u = 10 x d x$ , nên $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 5 x^{2} + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $5 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.3.2.1.3.3

Nhân $2$ với $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.4.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$10 x + 0$

Bước 2.3.2.1.4.2

Cộng $10 x$ và $0$ .

$10 x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$f + C_{1} = 35 \int \sqrt{u} \frac{1}{10} d u$

Bước 2.3.3

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{10}$ .

$f + C_{1} = 35 \int \frac{\sqrt{u}}{10} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{10}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{10}$ ra khỏi tích phân.

$f + C_{1} = 35 (\frac{1}{10} \int \sqrt{u} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $35$ .

$f + C_{1} = \frac{35}{10} \int \sqrt{u} d u$

Bước 2.3.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $35$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $35$ .

$f + C_{1} = \frac{5 (7)}{10} \int \sqrt{u} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f + C_{1} = \frac{7}{2} \int \sqrt{u} d u$

Bước 2.3.5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{7}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{7}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại $\frac{7}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{7}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$f + C_{1} = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Nhân $\frac{7}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Nhân $7$ với $2$ .

$f + C_{1} = \frac{14}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$f + C_{1} = \frac{14}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $14$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$f + C_{1} = \frac{2 (7)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f + C_{1} = \frac{7}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x^{2} + 4$ .

$f + C_{1} = \frac{7}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$f = \frac{7}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $15$ cho $f$ trong $f = \frac{7}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$15 = \frac{7}{3} {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{7}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 15$ .

$\frac{7}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 15$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{7}{3} \cdot {(5 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 15$

Bước 4.2.1.2

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{7}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 15$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $4$ .

$\frac{7}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 15$

Bước 4.2.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{7}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 15$

Bước 4.2.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 15$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 15$

Bước 4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{3} \cdot 2^{3} + K = 15$

Bước 4.2.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{7}{3} \cdot 8 + K = 15$

Bước 4.2.7

Nhân $\frac{7}{3} \cdot 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Kết hợp $\frac{7}{3}$ và $8$ .

$\frac{7 \cdot 8}{3} + K = 15$

Bước 4.2.7.2

Nhân $7$ với $8$ .

$\frac{56}{3} + K = 15$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{56}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 15 - \frac{56}{3}$

Bước 4.3.2

Để viết $15$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$K = 15 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $15$ và $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{15 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{15 \cdot 3 - 56}{3}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $15$ với $3$ .

$K = \frac{45 - 56}{3}$

Bước 4.3.5.2

Trừ $56$ khỏi $45$ .

$K = \frac{- 11}{3}$

Bước 4.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$K = - \frac{11}{3}$

Bước 5

Thay $- \frac{11}{3}$ cho $K$ trong $f = \frac{7}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- \frac{11}{3}$ bằng $K$ .

$f = \frac{7}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{11}{3}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{7}{3}$ và ${(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f = \frac{7 {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{11}{3}$

Bước 5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f = \frac{7 {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 11}{3}$