Giải tích Ví dụ

$\frac{d s}{d t} = - 7 t + \cos (t)$ , $s (0) = - 5$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d s = (- 7 t + \cos (t)) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d s = \int - 7 t + \cos (t) d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = \int - 7 t + \cos (t) d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$s + C_{1} = \int - 7 t d t + \int \cos (t) d t$

Bước 2.3.2

Vì $- 7$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 7$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = - 7 \int t d t + \int \cos (t) d t$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = - 7 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\cos (t)$ đối với $t$ là $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = - 7 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$s + C_{1} = - 7 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$s + C_{1} = \frac{- 7 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

Bước 2.3.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$s + C_{1} = - \frac{7 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$s + C_{1} = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $- 5$ cho $s$ trong $s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ .

$- 5 = - \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = - 5$ .

$- \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = - 5$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $- \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{7}{2} \cdot 0 + \sin (0) + K = - 5$

Bước 4.2.1.1.2

Nhân $- \frac{7}{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 (\frac{7}{2}) + \sin (0) + K = - 5$

Bước 4.2.1.1.2.2

Nhân $0$ với $\frac{7}{2}$ .

$0 + \sin (0) + K = - 5$

Bước 4.2.1.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 + 0 + K = - 5$

Bước 4.2.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 0 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + K = - 5$

Bước 4.2.1.2.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = - 5$

Bước 5

Thay $- 5$ cho $K$ trong $s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 5$ bằng $K$ .

$s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) - 5$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $t^{2}$ và $\frac{7}{2}$ .

$s = - \frac{t^{2} \cdot 7}{2} + \sin (t) - 5$

Bước 5.2.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $t^{2}$ .

$s = - \frac{7 t^{2}}{2} + \sin (t) - 5$