Giải tích Ví dụ

$3 x d y - 4 y d x = 0$

Bước 1

Cộng $4 y d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x d y = 4 y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Bước 3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3}{y} d y = 4 \frac{1}{x y} y d x$

Bước 3.5

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x y} y d x$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Bước 3.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{3}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{4}{x} d x$

Bước 4.2.3

Rút gọn.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$3 \ln (| y |) = 4 \ln (| x |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |) = C$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Rút gọn $3 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\ln ({| y |}^{3}) - 4 \ln (| x |) = C$

Bước 5.2.1.1.2

Rút gọn $- 4 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln ({| x |}^{4}) = C$

Bước 5.2.1.1.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{4}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (x^{4}) = C$

Bước 5.2.1.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$

Bước 5.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}})} = e^{C}$

Bước 5.4

Viết lại $\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}$

Bước 5.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$

Bước 5.5.2

Nhân cả hai vế với $x^{4}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Bước 5.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Bước 5.5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

${| y |}^{3} = e^{C} x^{4}$

Bước 5.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} x^{4}$ .

${| y |}^{3} = x^{4} e^{C}$

Bước 5.5.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$| y | = \sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$

Bước 5.5.4.2

Rút gọn $\sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.1

Viết lại $x^{4} e^{C}$ ở dạng $x^{3} (x e^{C})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.2.1.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài.

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} x e^{C}}$

Bước 5.5.4.2.1.2

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} (x e^{C})}$

Bước 5.5.4.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| y | = x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Bước 5.5.4.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm x \sqrt[3]{x C}$