Giải tích Ví dụ

$x d x + \sec (x) \sin (y) d y = 0$

Bước 1

Trừ $x d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sec (x) \sin (y) d y = - x d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sec (x)}$ .

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) \sin (y)$ .

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) (\sin (y))) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\sin (y) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\sec (x)} x d x$

Bước 3.3

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} x d x$

Bước 3.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (y) d y = - (1 \cos (x)) x d x$

Bước 3.5

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\sin (y) d y = - \cos (x) x d x$

Bước 3.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \cos (x) x$ .

$\sin (y) d y = - x \cos (x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \sin (y) d y = \int - x \cos (x) d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\sin (y)$ đối với $y$ là $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int - x \cos (x) d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \cos (y) + C_{1} = - \int x \cos (x) d x$

Bước 4.3.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \cos (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Bước 4.3.3

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$

Bước 4.3.4

Viết lại $- (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$ ở dạng $- (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \cos (y) = - (x \sin (x) + \cos (x)) + K$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$ .

$- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x \sin (x) - \cos (x) + K = - \cos (y)$

Bước 5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\cos (x)$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Cộng $x \sin (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \cos (x) + K = - \cos (y) + x \sin (x)$

Bước 5.3.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.4.2.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\cos (x) = \frac{\cos (y)}{1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.4.3.1.2

Chia $\cos (y)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \cos (y) + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.4.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{x \sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (x) = \cos (y) - 1 \cdot (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.4.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot (x \sin (x))$ ở dạng $- (x \sin (x))$ .

$\cos (x) = \cos (y) - (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

Bước 5.4.3.1.5

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + \frac{K}{1}$

Bước 5.4.3.1.6

Chia $K$ cho $1$ .

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + K$

Bước 5.5

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K)$

Bước 5.6

Viết lại phương trình ở dạng $\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$ .

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

Bước 5.7

Lấy nghịch đảo arccosin của cả hai vế của phương trình để rút $\cos (y)$ từ bên trong arccosin.

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

Bước 5.8

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\cos (y)$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Cộng $x \sin (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

Bước 5.8.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

Bước 5.9

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

Bước 5.10

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

Bước 5.11

Lấy nghịch đảo arccosin của cả hai vế của phương trình để rút $\cos (y)$ từ bên trong arccosin.

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

Bước 5.12

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\cos (y)$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.12.1

Cộng $x \sin (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

Bước 5.12.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

Bước 5.13

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) + K)$