Giải tích Ví dụ

$(15 x^{2} y^{2} - y^{4}) d x + (10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2} - y^{4}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $15 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $15 x^{2} y^{2}$ đối với $y$ là $15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{4}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - (4 y^{3})$

Bước 1.4.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - 4 y^{3}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $10 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x^{3} y$ đối với $x$ là $10 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 4 y^{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x y^{3}$ đối với $x$ là $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Bước 2.4.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Bước 2.5

Vì $- 5 y^{4}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5 y^{4}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + 0$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $30 y x^{2} - 4 y^{3}$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3}$

Bước 2.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - y^{4} d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Bước 5.2

Vì $15 y^{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $15 y^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{4} d x$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{4} x + C$

Bước 5.5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - y^{4} x + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $5 x^{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $5 y^{2} x^{3}$ đối với $y$ là $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Bước 8.3.3

Nhân $2$ với $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Bước 8.4

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{4} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Vì $- x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{4} x$ đối với $y$ là $- x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$10 x^{3} y - x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Bước 8.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$10 x^{3} y - x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Bước 8.4.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Bước 8.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $10 x^{3} y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y$

Bước 9.1.2

Cộng $4 y^{3} x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Trừ $10 x^{3} y$ khỏi $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 0 + 4 y^{3} x$

Bước 9.1.3.2

Cộng $- 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Bước 9.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $- 4 x y^{3}$ và $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 y^{3} x - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Bước 9.1.3.4

Cộng $- 4 y^{3} x$ và $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4} + 0$

Bước 9.1.3.5

Cộng $- 5 y^{4}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $- 5 y^{4}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 5 y^{4} d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 5 y^{4} d y$

Bước 10.3

Vì $- 5$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 5$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - 5 \int y^{4} d y$

Bước 10.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{4}$ đối với $y$ là $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Bước 10.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Viết lại $- 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ ở dạng $- 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$

Bước 10.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{5}$ .

$g (y) = \frac{- 5}{5} y^{5} + C$

Bước 10.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 5$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5} y^{5} + C$

Bước 10.5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} y^{5} + C$

Bước 10.5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} y^{5} + C$

Bước 10.5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{5} + C$

Bước 10.5.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$g (y) = - y^{5} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x - y^{5} + C$