Giải tích Ví dụ

$e^{- y} d x + (1 - x e^{- y}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{u} \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- 1 \cdot 1)$

Bước 1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \cdot - 1$

Bước 1.3.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot e^{- y}$

Bước 1.3.3.3

Viết lại $- 1 e^{- y}$ ở dạng $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{- y}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 1 - x e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x e^{- y}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x e^{- y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Bước 2.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- e^{- y}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x e^{- y}$ đối với $x$ là $- e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y}$

Bước 2.4

Trừ $e^{- y}$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{- y}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- e^{- y}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- e^{- y}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- e^{- y} = - e^{- y}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- e^{- y} = - e^{- y}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- y} d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = e^{- y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = e^{- y} x + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - x e^{- y}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x + g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{- y} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [e^{- y} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $e^{- y} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- y$ .

$x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (e^{- y} \cdot - 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.3.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- y}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.3.7

Viết lại $- 1 e^{- y}$ ở dạng $- e^{- y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x = 1 - x e^{- y}$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x e^{- y} = 1 - x e^{- y}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng $x e^{- y}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y} + x e^{- y}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 - x e^{- y} + x e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Cộng $- x e^{- y}$ và $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 1 + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 1$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $1$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Bước 10.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = y + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + y + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = e^{- y} x + y + C$ .

$f (x, y) = x e^{- y} + y + C$