Giải tích Ví dụ

$(2 x e^{3 y} + e^{x}) d x + (3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y} + e^{x}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x e^{3 y} + e^{x}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x e^{3 y}$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Bước 1.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 y$ đối với $y$ là $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Bước 1.3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Bước 1.3.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Bước 1.3.7

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Bước 1.4

Vì $e^{x}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $e^{x}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + 0$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng $6 x e^{3 y}$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $6 x e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 e^{3 y} x$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3 e^{3 y}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2} e^{3 y}$ đối với $x$ là $3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Bước 2.4

Vì $- y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $6 e^{3 y} x$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x e^{3 y}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $6 x e^{3 y}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $6 x e^{3 y}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} + e^{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} d x + \int e^{x} d x$

Bước 5.2

Vì $2 e^{3 y}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2 e^{3 y}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} \int x d x + \int e^{x} d x$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{x} d x$

Bước 5.4

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + e^{x} + C$

Bước 5.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + e^{x} + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $e^{3 y} x^{2}$ đối với $y$ là $x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 y$ .

$x^{2} (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 y$ đối với $y$ là $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$x^{2} (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.3.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 y}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.3.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.4

Vì $e^{x}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $e^{x}$ đối với $y$ là $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Cộng $3 x^{2} e^{3 y}$ và $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 8.6.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} e^{3 y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $3 x^{2} e^{3 y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $3 x^{2} e^{3 y}$ khỏi $3 x^{2} e^{3 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $- y^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $- y^{2}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} d y$

Bước 10.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - \int y^{2} d y$

Bước 10.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Bước 10.5

Viết lại $- (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 12

Rút gọn $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $y^{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 y} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$