Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

Bước 1.1.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

Bước 1.1.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{2} + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

Bước 1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

Bước 1.1.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

Bước 1.1.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Bước 1.4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Bước 1.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Bước 1.4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Bước 1.4.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Bước 1.4.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Bước 1.4.2.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Bước 1.4.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Bước 1.4.2.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

Bước 1.4.2.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

Bước 1.4.3

Nhân $x^{2} - 1$ với $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Bước 1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Bước 1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

Bước 1.4.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.1

Đưa $y$ ra ngoài $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Bước 1.4.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Bước 1.4.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 2.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $3$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ .

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Bước 4.2

Rút gọn $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Bước 4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Bước 4.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Bước 4.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Bước 4.2.2

Trừ $3$ khỏi $9$ .

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Bước 4.3

Rút gọn $1 + \ln (| 1 |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$6 + C = 1 + \ln (1)$

Bước 4.3.1.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$6 + C = 1 + 0$

Bước 4.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$6 + C = 1$

Bước 4.4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 1 - 6$

Bước 4.4.2

Trừ $6$ khỏi $1$ .

$C = - 5$

Bước 5

Thay $- 5$ cho $C$ trong $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 5$ bằng $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$