Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x + \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = 0$

Bước 1

Trừ $\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $e^{3 x + 3 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{2 y}$ và $e^{3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $e^{3 x}$ ra ngoài $e^{2 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Nhân với $1$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Bước 3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Bước 3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y - 3 x}}{1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Bước 3.1.2.4

Chia $e^{2 y - 3 x}$ cho $1$ .

$e^{3 x + 3 y} e^{2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Bước 3.2

Nhân $e^{3 x + 3 y}$ với $e^{2 y - 3 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{3 x + 3 y + 2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Bước 3.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x + 3 y + 2 y - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$e^{3 y + 2 y + 0} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Bước 3.2.2.2

Cộng $3 y + 2 y$ và $0$ .

$e^{3 y + 2 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Bước 3.2.3

Cộng $3 y$ và $2 y$ .

$e^{5 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{2 x}$ và $e^{3 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $e^{3 y}$ ra ngoài $e^{2 x}$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y}} d x$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân với $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Bước 3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Bước 3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x - 3 y}}{1} d x$

Bước 3.4.2.4

Chia $e^{2 x - 3 y}$ cho $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} e^{2 x - 3 y} d x$

Bước 3.5

Nhân $e^{3 x + 3 y}$ với $e^{2 x - 3 y}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Di chuyển $e^{2 x - 3 y}$ .

$e^{5 y} d y = - (e^{2 x - 3 y} e^{3 x + 3 y}) d x$

Bước 3.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{5 y} d y = - e^{2 x - 3 y + 3 x + 3 y} d x$

Bước 3.5.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x - 3 y + 3 x + 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Cộng $- 3 y$ và $3 y$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x + 0} d x$

Bước 3.5.3.2

Cộng $2 x + 3 x$ và $0$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x} d x$

Bước 3.5.4

Cộng $2 x$ và $3 x$ .

$e^{5 y} d y = - e^{5 x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int e^{5 y} d y = \int - e^{5 x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u_{1} = 5 y$ . Sau đó $d u_{1} = 5 d y$ , nên $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = 5 y$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Bước 4.2.1.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $5 y$ đối với $y$ là $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 4.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 4.2.1.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Bước 4.2.2

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Bước 4.2.3

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Bước 4.2.4

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - e^{5 x} d x$

Bước 4.2.5

Rút gọn.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Bước 4.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

Bước 4.3.2

Giả sử $u_{2} = 5 x$ . Sau đó $d u_{2} = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Hãy đặt $u_{2} = 5 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Tính đạo hàm $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 4.3.2.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 4.3.2.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 4.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Bước 4.3.4

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 4.3.5

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Bước 4.3.6

Rút gọn.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Bước 5.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Bước 5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Bước 5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Kết hợp $e^{5 x}$ và $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Bước 5.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5}) + 5 K$

Bước 5.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{5 x}}{5}$ vào tử số.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Bước 5.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Bước 5.2.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$e^{5 y} = - e^{5 x} + 5 K$

Bước 5.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Bước 5.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Khai triển $\ln (e^{5 y})$ bằng cách di chuyển $5 y$ ra bên ngoài lôgarit.

$5 y \ln (e) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Bước 5.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Bước 5.4.3

Nhân $5$ với $1$ .

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ cho $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + K)}{5}$