Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 \cos (x)$ , $y (0) = 15$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (9 x^{2} + 3 \cos (x)) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Bước 2.3.2

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 \cos (x) d x$

Bước 2.3.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 \int \cos (x) d x$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 (\sin (x) + C_{3})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Kết hợp $9$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$y + C_{1} = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $15$ cho $y$ trong $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ .

$15 = 3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$ .

$3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 \cdot 0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Bước 4.2.1.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Bước 4.2.1.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 + K = 15$

Bước 4.2.1.1.4

Nhân $3$ với $0$ .

$0 + 0 + K = 15$

Bước 4.2.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 0 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + K = 15$

Bước 4.2.1.2.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = 15$

Bước 5

Thay $15$ cho $K$ trong $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $15$ bằng $K$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + 15$