Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \sqrt{x - 3}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = x^{2} \sqrt{x - 3} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x^{2} \sqrt{x - 3} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x^{2} \sqrt{x - 3} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = \sqrt{x - 3}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{2}{3} \cdot 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3} \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Bước 2.3.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Bước 2.3.5

Giả sử $u = x - 3$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Hãy đặt $u = x - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Tính đạo hàm $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 2.3.5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3.5.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u + 3) d u$

Bước 2.3.6

Khai triển $u^{\frac{3}{2}} (u + 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d u$

Bước 2.3.6.2

Sắp xếp lại $u^{\frac{3}{2}}$ và $3$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + 3 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 2.3.6.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} + 3 u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 2.3.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} + 3 u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 2.3.6.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 3 u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 2.3.6.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} + 3 u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 2.3.6.7

Cộng $3$ và $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + 3 u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 2.3.6.8

Sắp xếp lại $u^{\frac{5}{2}}$ và $3 u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int 3 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{5}{2}} d u$

Bước 2.3.7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int 3 u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Bước 2.3.8

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (3 \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Bước 2.3.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Bước 2.3.10

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Bước 2.3.11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{5}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{3})$

Bước 2.3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.12.1

Kết hợp $\frac{2}{7}$ và $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C_{3})$

Bước 2.3.12.2

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Bước 2.3.12.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.12.3.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2}}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.2

Kết hợp $\frac{2 x^{2}}{3}$ và ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{3 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.4

Nhân $3$ với $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.5

Để viết $- \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.6

Kết hợp $- \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ và $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.8

Kết hợp $\frac{6}{5}$ và $u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.9

Kết hợp $\frac{2}{7}$ và $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.10

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.11

Kết hợp $- 3$ và $\frac{4}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.12

Nhân $- 3$ với $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.12.3.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.12.3.13.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.13.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{6 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 {(x - 3)}^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Bước 2.3.14

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{6}{5} {(x - 3)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 3)}^{\frac{7}{2}})) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{6}{5} {(x - 3)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 3)}^{\frac{7}{2}})) + K$