Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

Bước 1

Cộng $2 t y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int 2 t d t}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int t d t}$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{1 t^{2} + C}$

Bước 2.2.3.2.3

Nhân $t^{2}$ với $1$ .

$e^{t^{2} + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{t^{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{t^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

Bước 3.4

Nhân $e^{t^{2}}$ với $e^{- t^{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $e^{- t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

Bước 3.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

Bước 3.4.3

Cộng $- t^{2}$ và $t^{2}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

Bước 3.5

Rút gọn $4 e^{0}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

Bước 3.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ cho $e^{t^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ cho $e^{t^{2}}$ .

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{t^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Bước 9

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $3$ cho $y$ trong $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ .

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Bước 10

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ .

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Bước 10.2

Rút gọn $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Bước 10.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.2.1

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Bước 10.2.1.2.2

Cộng $0$ và $C$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Bước 10.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

Bước 10.2.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{C}{1} = 3$

Bước 10.2.3

Chia $C$ cho $1$ .

$C = 3$

Bước 11

Thay $3$ cho $C$ trong $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay $3$ bằng $C$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$