Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 x - 7$ và $y (3) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (4 x - 7) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 4 x - 7 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 4 x - 7 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int - 7 d x$

Bước 2.3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int - 7 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 7 d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 7 x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 2 x^{2} - 7 x + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $3$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = 2 x^{2} - 7 x + K$ .

$0 = 2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$ .

$2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$

Bước 4.2

Rút gọn $2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$2 \cdot 9 - 7 \cdot 3 + K = 0$

Bước 4.2.1.2

Nhân $2$ với $9$ .

$18 - 7 \cdot 3 + K = 0$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 7$ với $3$ .

$18 - 21 + K = 0$

Bước 4.2.2

Trừ $21$ khỏi $18$ .

$- 3 + K = 0$

Bước 4.3

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 3$

Bước 5

Thay $3$ cho $K$ trong $y = 2 x^{2} - 7 x + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $3$ bằng $K$ .

$y = 2 x^{2} - 7 x + 3$