Giải tích Ví dụ

$\frac{d s}{d t} = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d s = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d s = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $28$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $28$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Bước 2.3.2

Khai triển ${(7 t^{2} - 5)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2})}^{3} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Bước 2.3.2.2

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} {(7 t^{2})}^{2} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Bước 2.3.2.3

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Bước 2.3.2.4

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Bước 2.3.2.5

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) + {(- 5)}^{3} d t$

Bước 2.3.2.6

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 {(- 5)}^{2} d t$

Bước 2.3.2.7

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Bước 2.3.2.8

Di chuyển $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Bước 2.3.2.9

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Bước 2.3.2.10

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Bước 2.3.2.11

Di chuyển $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Bước 2.3.2.12

Di chuyển $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Bước 2.3.2.13

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Bước 2.3.2.14

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Bước 2.3.2.15

Di chuyển $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} \cdot - 5 t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Bước 2.3.2.16

Di chuyển $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Bước 2.3.2.17

Di chuyển $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Bước 2.3.2.18

Nhân $7$ với $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 49 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.19

Nhân $49$ với $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.20

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2 + 2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.21

Cộng $2$ và $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.22

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.23

Cộng $4$ và $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.24

Nhân $3$ với $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 21 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.25

Nhân $21$ với $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 147 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.26

Nhân $147$ với $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.27

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.28

Cộng $2$ và $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.29

Nhân $3$ với $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 21 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.30

Nhân $21$ với $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} - 105 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.31

Nhân $- 105$ với $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.32

Nhân $- 5$ với $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} + 25 \cdot - 5 d t$

Bước 2.3.2.33

Nhân $25$ với $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 125 d t$

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 125 d t$

Bước 2.3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$s + C_{1} = 28 (\int 343 t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Bước 2.3.4

Vì $343$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $343$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 28 (343 \int t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{6}$ đối với $t$ là $\frac{1}{7} t^{7}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Bước 2.3.6

Vì $- 735$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 735$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 \int t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Bước 2.3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{4}$ đối với $t$ là $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Bước 2.3.8

Vì $525$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $525$ ra khỏi tích phân.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 \int t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Bước 2.3.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) + \int - 125 d t)$

Bước 2.3.10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Bước 2.3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1.1

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $t^{7}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Bước 2.3.11.1.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $t^{5}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Bước 2.3.11.1.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $t^{3}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Bước 2.3.11.2

Rút gọn.

$s + C_{1} = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + C_{6}$

$s + C_{1} = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + C_{6}$

$s + C_{1} = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $t$ và $5$ cho $s$ trong $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ .

$5 = 28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$ .

$28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$28 (49 \cdot 1 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Bước 4.2.1.2

Nhân $49$ với $1$ .

$28 (49 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Bước 4.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$28 (49 - 147 \cdot 1 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Bước 4.2.1.4

Nhân $- 147$ với $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Bước 4.2.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1 - 125 \cdot 1) + K = 5$

Bước 4.2.1.6

Nhân $175$ với $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 - 125 \cdot 1) + K = 5$

Bước 4.2.1.7

Nhân $- 125$ với $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 - 125) + K = 5$

$28 (49 - 147 + 175 - 125) + K = 5$

Bước 4.2.2

Trừ $147$ khỏi $49$ .

$28 (- 98 + 175 - 125) + K = 5$

Bước 4.2.3

Cộng $- 98$ và $175$ .

$28 (77 - 125) + K = 5$

Bước 4.2.4

Trừ $125$ khỏi $77$ .

$28 \cdot - 48 + K = 5$

Bước 4.2.5

Nhân $28$ với $- 48$ .

$- 1344 + K = 5$

$- 1344 + K = 5$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $1344$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 5 + 1344$

Bước 4.3.2

Cộng $5$ và $1344$ .

$K = 1349$

$K = 1349$

$K = 1349$

Bước 5

Thay $1349$ cho $K$ trong $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $1349$ bằng $K$ .

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + 1349$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$s = 28 (49 t^{7}) + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân $49$ với $28$ .

$s = 1372 t^{7} + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Bước 5.2.2.2

Nhân $- 147$ với $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Bước 5.2.2.3

Nhân $175$ với $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} + 28 (- 125 t) + 1349$

Bước 5.2.2.4

Nhân $- 125$ với $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} - 3500 t + 1349$

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} - 3500 t + 1349$

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} - 3500 t + 1349$

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} - 3500 t + 1349$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$