Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (4.5) (\sec^{2} (x)) (\tan (x))$

Bước 1

Lấy tích phân cả hai vế đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm bậc nhất bằng tích phân của đạo hàm bậc hai đối với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int (4.5) (\sec^{2} (x)) (\tan (x)) d x$

Bước 1.2

Nhân $4.5$ với $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 4.5 \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3

Vì $4.5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4.5$ ra khỏi tích phân.

$\frac{d y}{d x} = 4.5 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Bước 1.4

Giả sử $u = \sec (x)$ . Sau đó $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Hãy đặt $u = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 1.4.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 1.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{d y}{d x} = 4.5 \int u d u$

Bước 1.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4.5 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Viết lại $4.5 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ ở dạng $4.5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4.5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{1}$

Bước 1.6.2

Kết hợp $4.5$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4.5}{2} u^{2} + C_{1}$

Bước 1.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4.5}{2} \sec^{2} (x) + C_{1}$

Bước 1.8

Chia $4.5$ cho $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1}$

Bước 2

Viết lại phương trình.

$d y = (2.25 \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = \int 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{2} = \int 2.25 \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.2

Vì $2.25$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2.25$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{2} = 2.25 \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.3

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$y + C_{2} = 2.25 (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = 2.25 (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Bước 3.3.5

Rút gọn.

$y + C_{2} = 2.25 \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{2} = C_{1} x + 2.25 \tan (x) + C_{5}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = C x + 2.25 \tan (x) + D$