Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = 5 x^{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} + 3 y = 5 x^{2}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{5 x^{2}}{x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{5 x^{2}}{x}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{5 x^{2}}{x}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $5 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (5 x)}{x}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (5 x)}{x^{1}}$

Bước 1.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (5 x)}{x \cdot 1}$

Bước 1.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (5 x)}{x \cdot 1}$

Bước 1.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{5 x}{1}$

Bước 1.3.2.5

Chia $5 x$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = 5 x$

Bước 1.4

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = 5 x$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 5 x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{3}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{3}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{3 \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{3})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{3}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (5 x)$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{3}{x}$ và $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (5 x)$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (5 x)$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (5 x)$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (5 x)$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (5 x)$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 x^{3} x$

Bước 3.4

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 (x \cdot x^{3})$

Bước 3.4.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 (x^{1} x^{3})$

Bước 3.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 x^{1 + 3}$

Bước 3.4.3

Cộng $1$ và $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 5 x^{4}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = 5 x^{4}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int 5 x^{4} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$x^{3} y = \int 5 x^{4} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$x^{3} y = 5 \int x^{4} d x$

Bước 7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Bước 7.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ ở dạng $5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ .

$x^{3} y = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Bước 7.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} y = \frac{5}{5} x^{5} + C$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{3} y = \frac{5}{5} x^{5} + C$

Bước 7.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{3} y = 1 x^{5} + C$

Bước 7.3.2.3

Nhân $x^{5}$ với $1$ .

$x^{3} y = x^{5} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x^{3} y = x^{5} + C$ cho $x^{3}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{3} y = x^{5} + C$ cho $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{5}$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} x^{2}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Bước 8.3.1.2.4

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{3}}$