Giải tích Ví dụ

$2 x y^{3} d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

Bước 1

Trừ $2 x y^{3} d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} y^{2} d y = - 2 x y^{3} d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{3}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x^{2} y^{2}$ ra ngoài $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{3}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Bước 3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3}{y} d y = - 2 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Bước 3.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $x y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $x y^{3}$ ra ngoài $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

Bước 3.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 4.2.3

Rút gọn.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Bước 4.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 4.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$3 \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Rút gọn $3 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\ln ({| y |}^{3}) + 2 \ln (| x |) = C$

Bước 5.2.1.1.2

Rút gọn $2 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Bước 5.2.1.1.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{2}) = C$

Bước 5.2.1.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{2}) = C$

Bước 5.2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln ({| y |}^{3} x^{2})$ .

$\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$

Bước 5.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{2} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Bước 5.4

Viết lại $\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} {| y |}^{3}$

Bước 5.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$

Bước 5.5.2

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Bước 5.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Bước 5.5.2.2.1.2

Chia ${| y |}^{3}$ cho $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Bước 5.5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$

Bước 5.5.4

Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Bước 5.5.4.2

Nhân $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Bước 5.5.4.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.3.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Bước 5.5.4.3.2

Nâng $\sqrt[3]{x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Bước 5.5.4.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Bước 5.5.4.3.4

Cộng $1$ và $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Bước 5.5.4.3.5

Viết lại ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ ở dạng $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Bước 5.5.4.3.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Bước 5.5.4.3.5.3

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Bước 5.5.4.3.5.4

Nhân $2$ với $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Bước 5.5.4.3.5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.3.5.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Bước 5.5.4.3.5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.3.5.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Bước 5.5.4.3.5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Bước 5.5.4.3.5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Bước 5.5.4.3.5.5.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.4.1

Viết lại ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.4.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.4.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.4.3

Đưa $x^{3}$ ra ngoài.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.4.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.4.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.5.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.5.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \sqrt[3]{e^{C} x}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Bước 5.5.4.5.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.5.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Bước 5.5.4.5.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Bước 5.5.4.5.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$

Bước 5.5.4.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Bước 5.5.5

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x}$