Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - y (6 x - 1) = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} - y (6 x) - y \cdot - 1 = 0$

Bước 1.1.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x - y \cdot - 1 = 0$

Bước 1.1.1.3

Nhân $- y \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + 1 y = 0$

Bước 1.1.1.3.2

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + y = 0$

Bước 1.1.1.4

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{d y}{d x} - 6 y x + y = 0$

Bước 1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d y}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Cộng $6 y x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} + y = 6 y x$

Bước 1.1.2.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = 6 y x - y$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $6 y x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $6 y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) - y$

Bước 1.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) + y \cdot - 1$

Bước 1.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (6 x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x - 1)$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

Bước 1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 x - 1$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = (6 x - 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 6 x - 1 d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x - 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{2} - x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{3 x^{2} - x + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} - x + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$ .

$| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{3 x^{2} - x + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{3 x^{2} - x + C}$ ở dạng $e^{3 x^{2} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{3 x^{2} - x} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{3 x^{2} - x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{2} - x}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{3 x^{2} - x}$