Giải tích Ví dụ

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Bước 1.2

Viết lại.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Bước 2.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Bước 2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y \ln (\frac{x}{y})$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \ln (y)$ và $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.5.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.6

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.7

Nhân $\frac{y}{x}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.8

Kết hợp $\frac{y}{x}$ và $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.9

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.10

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.13

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{y}$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Kết hợp $x$ và $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.14.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.14.2.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.14.3

Viết lại $\frac{1}{y}$ ở dạng $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.16

Nhân $y^{2}$ với $y^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1

Di chuyển $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.16.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.16.3

Cộng $- 2$ và $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.17

Rút gọn $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.18

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Bước 2.19

Nhân $\ln (\frac{x}{y})$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Bước 2.20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.20.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 2.20.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $1 - \ln (\frac{x}{y})$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $1$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 5.2

Thay $1 - \ln (\frac{x}{y})$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Bước 5.3

Thay $- y (\ln (x) - \ln (y))$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $- y (\ln (x) - \ln (y))$ bằng $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 5.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 5.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 5.3.2.3

Nhân $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 5.3.2.3.2

Nhân $\ln (\frac{x}{y})$ với $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 5.3.2.4

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 5.3.2.5

Cộng $0$ và $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 5.3.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (\frac{x}{y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- y}$

Bước 5.3.5

Thay $- y (\ln (x) - \ln (y))$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Bước 5.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{y}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Bước 6

Tính $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 6.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Bước 6.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Bước 6.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn $- \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Bước 6.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Bước 6.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- y (\ln (x) - \ln (y))$ với $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Bước 7.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Bước 7.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Bước 7.4

Viết lại $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ ở dạng $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Bước 7.5

Nhân $x$ với $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Bước 7.6

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Bước 9

Lấy tích phân $N (x, y) = \frac{x}{y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Bước 9.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Bước 9.3

Rút gọn.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 12

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Viết lại.

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Bước 13.1.2

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Trừ $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Bước 13.1.2.2

Viết lại.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Bước 13.1.3

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Bước 13.1.3.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Bước 13.1.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y \ln (\frac{x}{y})$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Bước 13.1.3.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \ln (y)$ và $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.5.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.6

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.7

Nhân $\frac{y}{x}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.8

Kết hợp $\frac{y}{x}$ và $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.9

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.10

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.13

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{y}$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.14.1

Kết hợp $x$ và $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.14.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.14.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.14.2.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.14.3

Viết lại $\frac{1}{y}$ ở dạng $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.16

Nhân $y^{2}$ với $y^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.16.1

Di chuyển $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.16.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.16.3

Cộng $- 2$ và $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.17

Rút gọn $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 13.1.3.18

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Bước 13.1.3.19

Nhân $\ln (\frac{x}{y})$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Bước 13.1.3.20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.20.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13.1.3.20.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13.1.4

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Bước 13.1.5

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.5.1

Thế $1 - \ln (\frac{x}{y})$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Bước 13.1.5.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ không phải là một đẳng thức.

Bước 13.1.6

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.6.1

Thay $1$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 13.1.6.2

Thay $1 - \ln (\frac{x}{y})$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Bước 13.1.6.3

Thay $- y (\ln (x) - \ln (y))$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.6.3.1

Thay $- y (\ln (x) - \ln (y))$ bằng $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 13.1.6.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.6.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 13.1.6.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 13.1.6.3.2.3

Nhân $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.6.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 13.1.6.3.2.3.2

Nhân $\ln (\frac{x}{y})$ với $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 13.1.6.3.2.4

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 13.1.6.3.2.5

Cộng $0$ và $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Bước 13.1.6.3.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Bước 13.1.6.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (\frac{x}{y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.6.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Bước 13.1.6.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- y}$

Bước 13.1.6.3.5

Thay $- y (\ln (x) - \ln (y))$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.6.3.5.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Bước 13.1.6.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{y}$

Bước 13.1.6.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Bước 13.1.7

Tính $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.7.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 13.1.7.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Bước 13.1.7.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Bước 13.1.7.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.7.4.1

Rút gọn $- \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Bước 13.1.7.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Bước 13.1.7.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Bước 13.1.8

Nhân cả hai vế của $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.8.1

Nhân $- y (\ln (x) - \ln (y))$ với $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Bước 13.1.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.8.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Bước 13.1.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Bước 13.1.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Bước 13.1.8.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Bước 13.1.8.4

Viết lại $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ ở dạng $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Bước 13.1.8.5

Nhân $x$ với $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Bước 13.1.8.6

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Bước 13.1.9

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Bước 13.1.10

Lấy tích phân $N (x, y) = \frac{x}{y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.10.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Bước 13.1.10.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Bước 13.1.10.3

Rút gọn.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Bước 13.1.11

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Bước 13.1.12

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13.1.13

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.13.1

Rút gọn $\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.13.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $d$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.13.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13.1.13.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13.1.13.1.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $x \ln (| y |) + g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13.1.13.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln (| y |) + g x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.13.1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln (| y |)$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13.1.13.1.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13.1.13.1.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \ln (| y |) + x g$ .

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13.1.13.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.13.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13.1.13.1.4.2

Chia $\ln (| y |) + g$ cho $1$ .

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

Bước 13.1.14

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

Bước 13.1.15

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

Bước 13.1.16

Kết hợp $| y |$ và $\frac{x}{y}$ .

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

Bước 13.1.17

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (\frac{| y | x}{y})$ .

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $- g$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ .

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

Bước 14.2

Tính $\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ .

$g (x) = \int - g d x$

Bước 14.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = - g x + C$

Bước 15

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$