Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 9} = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Bước 1.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Bước 1.1.2

Trừ $\frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y}$ vào tử số.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Bước 1.4.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Bước 1.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Bước 1.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = (x + 3) (x - 3)$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = (x + 3) (x - 3)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

Bước 2.3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 3$ và $g (x) = x - 3$ .

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Bước 2.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Bước 2.3.2.1.3.3

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Bước 2.3.2.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Bước 2.3.2.1.3.4.2

Nhân $x + 3$ với $1$ .

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Bước 2.3.2.1.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.3.2.1.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Bước 2.3.2.1.3.7

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

Bước 2.3.2.1.3.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.3.8.2

Nhân $x - 3$ với $1$ .

$x + 3 + x - 3$

Bước 2.3.2.1.3.8.3

Cộng $x$ và $x$ .

$2 x + 3 - 3$

Bước 2.3.2.1.3.8.4

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.8.4.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.2.1.3.8.4.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $(x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp $\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

Bước 3.2

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển $(x + 3) (x - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Bước 3.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Bước 3.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \cdot - 3$ và $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Bước 3.3.2.2

Cộng $- 3 x$ và $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Bước 3.3.2.3

Cộng $x \cdot x$ và $0$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Bước 3.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Bước 3.3.3.2

Nhân $3$ với $- 3$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Bước 3.4

Để viết $\ln (| y |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Bước 3.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Kết hợp $\ln (| y |)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Bước 3.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Bước 3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Bước 3.7

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Bước 3.7.1.1.3

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Bước 3.7.1.2

Viết lại $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |) = C$

Bước 3.7.1.3

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 9 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.7.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $y^{2} | x^{2} - 9 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.7.1.5

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.7.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.7.1.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.7.1.6

Rút gọn.

$\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Bước 3.8

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Bước 3.9

Viết lại $\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Bước 3.10

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Viết lại phương trình ở dạng $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Bước 3.10.2

Chia mỗi số hạng trong $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ cho ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ cho ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.10.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.10.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$