Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ , $y (1) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x^{1}}$

Bước 1.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Bước 1.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Bước 1.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x}{1}$

Bước 1.3.2.5

Chia $4 x$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 4 x$

Bước 1.4

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 4 x$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 4 x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{2})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{2}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (4 x)$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (4 x)$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (4 x)$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{2} x$

Bước 3.4

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x \cdot x^{2})$

Bước 3.4.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x^{1} x^{2})$

Bước 3.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{1 + 2}$

Bước 3.4.3

Cộng $1$ và $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{3}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 4 x^{3}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 4 x^{3} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$x^{2} y = \int 4 x^{3} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} y = 4 \int x^{3} d x$

Bước 7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Bước 7.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ ở dạng $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Bước 7.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Bước 7.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} y = 1 x^{4} + C$

Bước 7.3.2.3

Nhân $x^{4}$ với $1$ .

$x^{2} y = x^{4} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = x^{4} + C$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = x^{4} + C$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{4}$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3.1.2.4

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 9

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$0 = 1^{2} + \frac{C}{1^{2}}$

Bước 10

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại phương trình ở dạng $1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$ .

$1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Bước 10.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + \frac{C}{1} = 0$

Bước 10.2.3

Chia $C$ cho $1$ .

$1 + C = 0$

Bước 10.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = - 1$

Bước 11

Thay $- 1$ cho $C$ trong $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay $- 1$ bằng $C$ .

$y = x^{2} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Bước 11.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$