Giải tích Ví dụ

$(y \cos (x) + 2 x e^{y}) d x + (\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y \cos (x) + 2 x e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) + 2 x e^{y}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y \cos (x) + 2 x e^{y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\cos (x)$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y \cos (x)$ đối với $y$ là $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Bước 1.3.3

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x e^{y}$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $e^{y}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} e^{y}$ đối với $x$ là $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + 0$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $\cos (x) + 2 e^{y} x$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x$

Bước 2.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Bước 2.6.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 x e^{y} + \cos (x)$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x e^{y} + \cos (x)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1 d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int \sin (x) d y + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Bước 5.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Bước 5.3

Vì $x^{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $x^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} \int e^{y} d y + \int - 1 d y$

Bước 5.4

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) + \int - 1 d y$

Bước 5.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) - y + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\sin (x) y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8.4

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Vì $e^{y}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} e^{y}$ đối với $x$ là $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8.4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{y}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8.5

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8.6

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Cộng $y \cos (x) + 2 e^{y} x$ và $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8.7.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 8.7.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $y \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x)$

Bước 9.1.2

Trừ $2 x e^{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Trừ $y \cos (x)$ khỏi $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + 0 - 2 x e^{y}$

Bước 9.1.3.2

Cộng $2 x e^{y}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} - 2 x e^{y}$

Bước 9.1.3.3

Trừ $2 x e^{y}$ khỏi $2 x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Bước 10.3

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Bước 10.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (x) = C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$ .

$f (x, y) = y \sin (x) + x^{2} e^{y} - y + C$