Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x - \sin (x)$ , $y (π) = 3$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (x - \sin (x)) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x - \sin (x) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x - \sin (x) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int x d x + \int - \sin (x) d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \sin (x) d x$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - \int \sin (x) d x$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - - \cos (x) + C_{4}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \cos (x) + C_{4}$

Bước 2.3.5.2.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $π$ cho $x$ và $3$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ .

$3 = \frac{1}{2} π^{2} + \cos (π) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} + \cos (π) + K = 3$

Bước 4.2.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (0) + K = 3$

Bước 4.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 \cdot 1 + K = 3$

Bước 4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 + K = 3$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{π^{2}}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 1 + K = 3 - \frac{π^{2}}{2}$

Bước 4.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 3 - \frac{π^{2}}{2} + 1$

Bước 4.3.3

Cộng $3$ và $1$ .

$K = - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Bước 5

Thay $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$