Giải tích Ví dụ

$t^{2} \cdot \frac{d y}{d t} + y^{2} = t \cdot y$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$t^{2} \frac{d y}{d t} = t y - y^{2}$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $t^{2} \frac{d y}{d t} = t y - y^{2}$ cho $t^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $t^{2} \frac{d y}{d t} = t y - y^{2}$ cho $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{t y}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{t y}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t y}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $t$ và $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1.1

Đưa $t$ ra ngoài $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1.2.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d t} = \frac{y}{t} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d t} = \frac{y}{t} - \frac{y^{2}}{t^{2}}$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{y^{2}}{t^{2}}$ ở dạng ${(\frac{y}{t})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{y}{t} - {(\frac{y}{t})}^{2}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{t}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = V - V^{2}$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{t}$ để tìm $y$ .

$y = V t$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V t$ tương ứng với $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Bước 5

Thay $t \frac{d V}{d t} + V$ bằng $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = V - V^{2}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d t}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$t \frac{d V}{d t} = V - V^{2} - V$

Bước 6.1.1.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V - V^{2} - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - V^{2} + 0$

Bước 6.1.1.1.2.2

Cộng $- V^{2}$ và $0$ .

$t \frac{d V}{d t} = - V^{2}$

Bước 6.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $t \frac{d V}{d t} = - V^{2}$ cho $t$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $t \frac{d V}{d t} = - V^{2}$ cho $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- V^{2}}{t}$

Bước 6.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- V^{2}}{t}$

Bước 6.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- V^{2}}{t}$

Bước 6.1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{V^{2}}{t}$

Bước 6.1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{t})$

Bước 6.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{t}$

Bước 6.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $V^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{V^{2}}$ vào tử số.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{t}$

Bước 6.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{t}$

Bước 6.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{t}$

Bước 6.1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{V^{2}} d V = - \frac{1}{t} d t$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Di chuyển $V^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Bước 6.2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(V^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Bước 6.2.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Bước 6.2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $V^{- 2}$ đối với $V$ là $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Bước 6.2.2.3

Viết lại $- V^{- 1} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Bước 6.2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \int \frac{1}{t} d t$

Bước 6.2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{t}$ đối với $t$ là $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - (\ln (| t |) + C_{2})$

Bước 6.2.3.3

Rút gọn.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \ln (| t |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \frac{1}{V} = - \ln (| t |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$V, 1, 1$

Bước 6.3.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$V$

Bước 6.3.2

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{V} = - \ln (| t |) + C$ với $V$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{1}{V} = - \ln (| t |) + C$ với $V$ .

$- \frac{1}{V} V = - \ln (| t |) V + C V$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{V}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| t |) V + C V$

Bước 6.3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| t |) V + C V$

Bước 6.3.2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 = - \ln (| t |) V + C V$

Bước 6.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \ln (| t |) V + C V$ .

$- 1 = - V \ln (| t |) + C V$

Bước 6.3.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- V \ln (| t |) + C V = - 1$ .

$- V \ln (| t |) + C V = - 1$

Bước 6.3.3.2

Đưa $V$ ra ngoài $- V \ln (| t |) + C V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.2.1

Đưa $V$ ra ngoài $- V \ln (| t |)$ .

$V (- 1 \ln (| t |)) + C V = - 1$

Bước 6.3.3.2.2

Đưa $V$ ra ngoài $C V$ .

$V (- 1 \ln (| t |)) + V C = - 1$

Bước 6.3.3.2.3

Đưa $V$ ra ngoài $V (- 1 \ln (| t |)) + V C$ .

$V (- 1 \ln (| t |) + C) = - 1$

Bước 6.3.3.3

Viết lại $- 1 \ln (| t |)$ ở dạng $- \ln (| t |)$ .

$V (- \ln (| t |) + C) = - 1$

Bước 6.3.3.4

Chia mỗi số hạng trong $V (- \ln (| t |) + C) = - 1$ cho $- \ln (| t |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $V (- \ln (| t |) + C) = - 1$ cho $- \ln (| t |) + C$ .

$\frac{V (- \ln (| t |) + C)}{- \ln (| t |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| t |) + C}$

Bước 6.3.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- \ln (| t |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{V (- \ln (| t |) + C)}{- \ln (| t |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| t |) + C}$

Bước 6.3.3.4.2.1.2

Chia $V$ cho $1$ .

$V = \frac{- 1}{- \ln (| t |) + C}$

Bước 6.3.3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$V = - \frac{1}{- \ln (| t |) + C}$

Bước 6.3.3.4.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \ln (| t |)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| t |)) + C}$

Bước 6.3.3.4.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $C$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| t |)) - 1 (- C)}$

Bước 6.3.3.4.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\ln (| t |)) - 1 (- C)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| t |) - C)}$

Bước 6.3.3.4.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.4.3.5.1

Viết lại $- (\ln (| t |) - C)$ ở dạng $- 1 (\ln (| t |) - C)$ .

$V = - \frac{1}{- 1 (\ln (| t |) - C)}$

Bước 6.3.3.4.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$V = - - \frac{1}{\ln (| t |) - C}$

Bước 6.3.3.4.3.5.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$V = 1 \frac{1}{\ln (| t |) - C}$

Bước 6.3.3.4.3.5.4

Nhân $\frac{1}{\ln (| t |) - C}$ với $1$ .

$V = \frac{1}{\ln (| t |) - C}$

Bước 6.4

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = \frac{1}{\ln (| t |) + C}$

Bước 7

Thay $\frac{y}{t}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{t} = \frac{1}{\ln (| t |) + C}$

Bước 8

Giải $\frac{y}{t} = \frac{1}{\ln (| t |) + C}$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $t$ .

$\frac{y}{t} t = \frac{1}{\ln (| t |) + C} t$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{t} t = \frac{1}{\ln (| t |) + C} t$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{1}{\ln (| t |) + C} t$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{\ln (| t |) + C}$ và $t$ .

$y = \frac{t}{\ln (| t |) + C}$