Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = x^{2} + 8$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 8$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

Bước 2.3.2.1.4

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Kết hợp $u^{- \frac{1}{3}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $u^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 2.3.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 2.3.5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.5.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Bước 2.3.5.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ ở dạng $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 8$ .

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ .

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ .

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $8$ .

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Bước 4.2.3

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Bước 4.2.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Bước 4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

Bước 4.2.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$3 \cdot 4 + K = 0$

Bước 4.2.7

Nhân $3$ với $4$ .

$12 + K = 0$

Bước 4.3

Trừ $12$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = - 12$

Bước 5

Thay $- 12$ cho $K$ trong $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 12$ bằng $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$