Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} + y$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{2} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2}) + y$

Bước 1.1.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2}) + y^{1}$

Bước 1.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2}) + y \cdot 1$

Bước 1.1.4

Đưa $y$ ra ngoài $y (x^{2}) + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} + 1)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} + 1))$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} + 1))$

Bước 1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} + 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} + x + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} x^{3} + x + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} + x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} x^{3} + x + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} + x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} + x + C}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{3}}{3} + x + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} + x + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{\frac{x^{3}}{3} + x + C}$ ở dạng $e^{\frac{x^{3}}{3} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} + x} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{\frac{x^{3}}{3} + x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{3}}{3} + x}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{\frac{x^{3}}{3} + x}$