Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = y^{2} - 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} - 1} (y^{2} - 1)$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} - 1} (y^{2} - 1)$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d t} = 1$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y^{2} - 1} d y = 1 d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{2} - 1} d y = \int d t$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Phân tích phân số thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}}$

Bước 2.2.1.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = 1$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)}$

Bước 2.2.1.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{y + 1}$

Bước 2.2.1.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.7.1.2

Chia $(A) (y - 1)$ cho $1$ .

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.7.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.7.4

Viết lại $- 1 A$ ở dạng $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.7.5

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.7.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Bước 2.2.1.1.7.5.2

Chia $(B) (y + 1)$ cho $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y + 1)$

Bước 2.2.1.1.7.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A y - A + B y + B \cdot 1$

Bước 2.2.1.1.7.7

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = A y - A + B y + B$

Bước 2.2.1.1.8

Di chuyển $- A$ .

$1 = A y + B y - A + B$

Bước 2.2.1.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $y$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = A + B$

Bước 2.2.1.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $y$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = - 1 A + B$

Bước 2.2.1.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Bước 2.2.1.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Giải tìm $A$ trong $0 = A + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Bước 2.2.1.3.1.2

Trừ $B$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Bước 2.2.1.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $- B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $1 = - 1 A + B$ bằng $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Bước 2.2.1.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.2.2.1

Rút gọn $- 1 (- B) + B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.2.2.1.1

Nhân $- 1 (- B)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Bước 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Bước 2.2.1.3.2.2.1.2

Cộng $B$ và $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Bước 2.2.1.3.3

Giải tìm $B$ trong $1 = 2 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Bước 2.2.1.3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 B = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 2.2.1.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Bước 2.2.1.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $\frac{1}{2}$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $A = - B$ bằng $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 2.2.1.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Bước 2.2.1.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Bước 2.2.1.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Bước 2.2.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Bước 2.2.1.5.2

Nhân $\frac{1}{y + 1}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(y + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Bước 2.2.1.5.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y + 1$ .

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Bước 2.2.1.5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 1}$

Bước 2.2.1.5.5

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{y - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Bước 2.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Bước 2.2.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1} d y) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Bước 2.2.5

Giả sử $u_{1} = y + 1$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Hãy đặt $u_{1} = y + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.1

Tính đạo hàm $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Bước 2.2.5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.5.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Bước 2.2.6

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Bước 2.2.7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1} d y = \int d t$

Bước 2.2.8

Giả sử $u_{2} = y - 1$ . Sau đó $d u_{2} = d y$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Hãy đặt $u_{2} = y - 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1.1

Tính đạo hàm $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 2.2.8.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 2.2.8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 2.2.8.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.8.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Bước 2.2.9

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Bước 2.2.10

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Bước 2.2.11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Bước 2.2.11.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int d t$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = t + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = t + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Kết hợp $\ln (| y + 1 |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = t + C$

Bước 3.1.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| y - 1 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = t + C$

Bước 3.2

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = t + C$ với $2$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = t + C$ với $2$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2}$ vào tử số.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.2.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \cdot t + C \cdot 2$

Bước 3.2.3.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 t + 2 C$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (| y - 1 |) = 2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)} = | y - 1 |$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)}) = \ln (| y - 1 |)$

Bước 3.5.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Khai triển $\ln (e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)})$ bằng cách di chuyển $2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)$ ra bên ngoài lôgarit.

$(2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)) \ln (e) = \ln (| y - 1 |)$

Bước 3.5.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)) \cdot 1 = \ln (| y - 1 |)$

Bước 3.5.2.3

Nhân $2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)$ với $1$ .

$2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |) = \ln (| y - 1 |)$

Bước 3.5.3

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| y - 1 |) = - 2 t - 2 C$

Bước 3.5.4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 t - 2 C$

Bước 3.5.5

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |})} = e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.6

Viết lại $\ln (\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 t - 2 C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 t - 2 C} = \frac{| y + 1 |}{| y - 1 |}$

Bước 3.5.7

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 t - 2 C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.2

Nhân cả hai vế với $| y - 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |$

Bước 3.5.7.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| y - 1 |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |$

Bước 3.5.7.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y + 1 | = e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |$

Bước 3.5.7.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$ .

$e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$

Bước 3.5.7.4.2

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$ cho $e^{- 2 t - 2 C}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$ cho $e^{- 2 t - 2 C}$ .

$\frac{e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}} = \frac{| y + 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Bước 3.5.7.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 2 t - 2 C}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}} = \frac{| y + 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Bước 3.5.7.4.2.2.1.2

Chia $| y - 1 |$ cho $1$ .

$| y - 1 | = \frac{| y + 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Bước 3.5.7.4.3

Viết lại phương trình chứa giá trị tuyệt đối ở dạng bốn phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối.

$y - 1 = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$- (y - 1) = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$- (y - 1) = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Bước 3.5.7.4.4

Sau khi rút gọn, chỉ có hai phương trình duy nhất cần giải.

$y - 1 = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Bước 3.5.7.4.5

Giải $y - 1 = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.1

Nhân cả hai vế với $e^{- 2 t - 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.2.1.1

Rút gọn $(y - 1) e^{- 2 t - 2 C}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y e^{- 2 t - 2 C} - 1 e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.5.2.1.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.2.1.1.2.1

Viết lại $- 1 e^{- 2 t - 2 C}$ ở dạng $- e^{- 2 t - 2 C}$ .

$y e^{- 2 t - 2 C} - e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.5.2.1.1.2.2

Sắp xếp lại $- 2 t$ và $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.5.2.1.1.2.3

Sắp xếp lại $- 2 t$ và $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 2 t - 2 C}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = y + 1$

Bước 3.5.7.4.5.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.3.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} - y = 1$

Bước 3.5.7.4.5.3.2

Cộng $e^{- 2 C - 2 t}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y e^{- 2 C - 2 t} - y = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.5.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{- 2 C - 2 t} - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{- 2 C - 2 t}$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - y = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.5.3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot - 1 = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.5.3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot - 1$ .

$y (e^{- 2 C - 2 t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.5.3.4

Viết lại $e^{- 2 C - 2 t}$ ở dạng ${(e^{- C - t})}^{2}$ .

$y ({(e^{- C - t})}^{2} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.5.3.5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y ({(e^{- C - t})}^{2} - 1^{2}) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.5.3.6

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.3.6.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e^{- C - t}$ và $b = 1$ .

$y ((e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.5.3.6.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.5.3.7

Chia mỗi số hạng trong $y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ cho $(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.3.7.1

Chia mỗi số hạng trong $y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ cho $(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)$ .

$\frac{y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Bước 3.5.7.4.5.3.7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.3.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- C - t} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.3.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Bước 3.5.7.4.5.3.7.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y (e^{- C - t} - 1)}{e^{- C - t} - 1} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Bước 3.5.7.4.5.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- C - t} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.3.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (e^{- C - t} - 1)}{e^{- C - t} - 1} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Bước 3.5.7.4.5.3.7.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Bước 3.5.7.4.5.3.7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.5.3.7.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{1 + e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Bước 3.5.7.4.6

Giải $y - 1 = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.1

Nhân cả hai vế với $e^{- 2 t - 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.2.1.1

Rút gọn $(y - 1) e^{- 2 t - 2 C}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y e^{- 2 t - 2 C} - 1 e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.6.2.1.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.2.1.1.2.1

Viết lại $- 1 e^{- 2 t - 2 C}$ ở dạng $- e^{- 2 t - 2 C}$ .

$y e^{- 2 t - 2 C} - e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.6.2.1.1.2.2

Sắp xếp lại $- 2 t$ và $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.6.2.1.1.2.3

Sắp xếp lại $- 2 t$ và $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.2.2.1

Rút gọn $- \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 2 t - 2 C}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.2.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$ vào tử số.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{- (y + 1)}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.6.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{- (y + 1)}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Bước 3.5.7.4.6.2.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - (y + 1)$

Bước 3.5.7.4.6.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - y - 1 \cdot 1$

Bước 3.5.7.4.6.2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - y - 1$

Bước 3.5.7.4.6.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.3.1

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1$

Bước 3.5.7.4.6.3.2

Cộng $e^{- 2 C - 2 t}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.6.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{- 2 C - 2 t} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{- 2 C - 2 t}$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.6.3.3.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.6.3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot 1 = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.6.3.3.4

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot 1$ .

$y (e^{- 2 C - 2 t} + 1) = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Bước 3.5.7.4.6.3.4

Chia mỗi số hạng trong $y (e^{- 2 C - 2 t} + 1) = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ cho $e^{- 2 C - 2 t} + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (e^{- 2 C - 2 t} + 1) = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ cho $e^{- 2 C - 2 t} + 1$ .

$\frac{y (e^{- 2 C - 2 t} + 1)}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} = \frac{- 1}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Bước 3.5.7.4.6.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 2 C - 2 t} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (e^{- 2 C - 2 t} + 1)}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} = \frac{- 1}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Bước 3.5.7.4.6.3.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Bước 3.5.7.4.6.3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.3.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- 1 + e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Bước 3.5.7.4.6.3.4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.4.6.3.4.3.2.1

Viết lại $e^{- 2 C - 2 t}$ ở dạng ${(e^{- C - t})}^{2}$ .

$y = \frac{- 1 + {(e^{- C - t})}^{2}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Bước 3.5.7.4.6.3.4.3.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{- 1^{2} + {(e^{- C - t})}^{2}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Bước 3.5.7.4.6.3.4.3.2.3

Sắp xếp lại $- 1^{2}$ và ${(e^{- C - t})}^{2}$ .

$y = \frac{{(e^{- C - t})}^{2} - 1^{2}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Bước 3.5.7.4.6.3.4.3.2.4

$y = \frac{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Bước 3.5.7.4.7